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平面连杆机构计算机辅助设计方法地研究

发布时间:2019-07-25 20:21 来源:未知 编辑:admin

  机构运动简图的参数,包括转动副中心之间的距离、移动副位置尺寸以及描绘连杆曲线的点的位置尺寸等。对设计方法而言,有图解法、实验法、解析法等。 近年,利用计算机对连杆机构进行辅助研究的方法越来越多,无论那种方法, 其目的是对机构分析与综合进行优化,使机构设计结果更科学更精确,同时也 可减轻人的体力和脑力劳动。下面介绍其中一些设计方法。 复演规则轨迹的平面四杆机构计算机助综合“3:该方法是一种以极点曲线 为基本原理的计算机辅助机构综合法。该方法兼备几何法和解析法优点,解决 了复演规则形状预期轨迹的平面四杆机构综合问题;用解析几何方法建立了极 点、等视角定理、两圆交点等经典机构学的数学模型:采用曲线拟合方法确定 极点曲线方程,并用数值迭代方法求解固定铰链,对算法中某些参数的选择给 出了推荐范围;利用计算机计算、图形和人机对话功能,验证了该方法的正确 性,并对不断调整参数获得机构最优解的过程进行了实践”””“。 基于模糊理论的平面连杆机构稳健设计方法“1:对平面连杆机构设计,运 动精度的保证是一个核心问题”1。由于组成机构的构件必然存在加工误差,这 就使得构件的尺寸表现出不确定性,从而使得机构实际运动规律与理想运动规 律F。(t)之间存在不确定性运动误差e=Fo(t)一F(t),这种运动误差的不确定 性一般认为可以用其随机性来描述。但是,评价平面连杆机构设计的设计质量 好坏的标准却具有明显的模糊特性。一般的思路是:由机构优化设计方法控制 各插值节点的最大运动误差值或均方根值不超允许范围‘,然后根据各构件的制 造工艺条件,分配其制造公差。因为e与机构各构件的基本尺寸及制造误差之 间的函数关系通常是非线性的,因此,在求得机构各杆长的基本尺寸后孤立地 研究其制造公差问题,往往不能取得合理的机构制造、装配公差值。用模糊理 论研究了平面连杆机构设计中评价设计质量的模糊性,根据模糊稳健设计原理 ”“”1,提出了一种平面机构的稳健设计方法。该方法能同时求得平面连杆机 构各杆长的基本尺寸及其制造公差,使机构结构的制造允差和预期的运动精度 得到良好的匹配,具有工程实用价值。该方法根据评价平面连杆机构运动精度 的模糊特性,用模糊概率方法评价其设计精度,进而引入了其稳健设计方法。 该方法在求解机构杆长等参数的同时,还可确定各杆长的制造公差,确保机械 构运动精度的稳健性。以再现连杆角位移的平面连杆机械为例,建立了基于模 糊理论的稳健优化设计数学模型,并进行了设计计算”1。 基于形状谱的平面四杆机构神经网络轨迹设计法…’:长期以来,平面四连 杆机构的轨迹设计一直是机构学中的一个研究热点,相关的设计方法很多,图 谱法是其中最为直观和较为有效的~种设计方法。根据所用的连杆曲线图谱的 不同,图谱法可分如下三种:传统的物理图谱“2,”1,这种方法费时费力, 且设计精度数低;以某些人为选定的特征值为基础的电子图谱““,由于数量 有限的特征值不足以描述千姿百态的连杆曲线,所以这种方法不可能包含连杆 曲线的全部形态信息,并且建立连杆曲线图谱时大都需进行一些特定的处理;基于曲线形状谱的电子图谱,这种图谱只取决于曲线的形状,而与曲线的缩 放、旋转和平移无关,数据冗余度小,易于目标曲线与连杆曲线比较识别。必 须指出的是,由于图谱中所含的连杆曲线总是有限的,与目标曲线最为接近的 一条连杆曲线一般不会包含在图谱中,所以,无论以何种形式建立图谱,图谱 法都只能得到轨迹机构的较为粗糙的近似解。为了获得复演目标曲线的较为理 想的轨迹机构,通过数学形态学“’177与图像处理相结合的方法,实现平面连杆 曲线的形状特征参数的提取及其与目标曲线的比较识别;再在此基础上,根据 机构参数和连杆曲线的形状谱建立神经网络,通过自学习和优化,获取与目标 曲线最为吻合的连杆曲线及与之相对应的平面杆轨迹机构。 上面提到的一些方法,重点从杆机构的某一方面进行研究,但无论那种方 法,都离不开计算机进行辅助研究。从中也可看到,随着科学技术的飞速发展, 计算机辅助设计研究将是机构研究的必然趋势。但如何开发既有效而又实用简 便的辅助研究的系统则是一个难题。本课题从一些典型、常见的杆机构入手, 对其分析研究并开发相应软件,为今后更深一步研究打下基础。 1.3关键问题、解决方法及开发工具 1.3.1关键问题 为实现杆机构给定的运动要求,一般可归纳以下几类设计命题。…: 1.要求实现连杆的几个位置; 2.要求实现连架杆的给定运动规律: 3.要求实现给定轨迹。 在具体综合研究中:按给定从动件行程和行程速度变化系数设计四杆机 构,在设计具有急回特性的四杆机构时,通常给定从动件行程和行程速度变化 系数,以保证一定的急回要求。再给定一些其他辅助条件,使机构能进一步满 足几何要求或动力要求。按给定两连架杆对应位移设计四杆机构,一般已知两 连架杆的两组对应角位移,设计实现运动要求的铰链四杆机构。因两连架杆角 位移的对应关系,只与各构件的相对长度有关。因此在设计时,可根据具体工 作情况,适当取机架的长度。按给定的几个点实现已知运动轨迹,使连杆机构 中作平面运动的构件上某一点精确或近似地沿着给定的轨迹运动。当需要的轨 迹点数少于方程数时,可预先选定某些机构参数,以获得唯一解“”吲。 1.3.2解决方法 在进行计算机辅助分析和综合研究中,采用解析法建立方程组,该方法是 将运动设计问题用数学方程加以描述,通过方程的求解获得有关运动尺寸,因 此,需要熟练的高等数学及数值计算方法知识。 在进行机构运动仿真过程中,用解析法来实现动画,对于各个平面四杆机 构的运动极限位置必须非常清楚,这样在计算各个结点的坐标时,就会知道四 杆机构在运动到何位置时需要进行分情况讨论。否则编出来的动画要么就是达 不到自己的要求,要么就是根本就不能实现动画。另外在编一些四杆机构中带 有来回摆动杆的机构的动画时,就要考虑到杆摆动越界的问题,要不然杆在运 动到极限位置时,就会出现报错的问题。只要在到达极限位置之前,对其进行 限定即行,使其到不了极限位置,而在运动到离极限位置一点的位置时,就返 回。这样就不会出现报错的问题。而如果是采用图形变换法来实现动画,就必 须对二维图形变换的基本知识一一一个点绕另一个点进行旋转变换,一个点对 另一个进行平移变换等,要非常的熟练,此外对于四杆机构这一个整体,一个 结点对另一个结点的旋转变换和一个点对另一个的平移变换之间的关系要能 计算出来。另外,在实现动画时,一定要考虑到刷新的问题,否则一系列的四 杆机构会重叠在一起,让使用者看不出有动画的效果。 1.3.3开发工具 开发工具选用Delphi程序语言。其中Delphi是基于ObjectPascal语 言的面向对象的开发工具,使用它的集成开发环境(IDE)可以快速地建立应用 程序。Delphi和C++同处于一个级别,但是和庞大的Vi6ualC+十相比,它要小 的多,也非常易用,很多界面的设计就像是在画而不是在写,大大的提高了开发 的效率。Borland的Pascal编辑器一直是最快的编译器之一,Delphi继承了这 一优秀的特点。正是因为这样,Delphi已经成为最为受欢迎的windows应用 程序开发具之一”…。因而还要熟练Delphi方面的知识,对运用Delphi语言编 写程序运用自如,方能使实际工作有效进行。 1.4本论文研究的主要内容 根据实际工作的需要,结合目前杆机构研究现状,本论文研究内容包含以 下几个方面: 1.平面四杆机构计算机辅助分析研究; 2.平面四杆机构计算机辅助综合研究; 3.平面四杆机构运动仿线.软件开发。 所研究的主要对象是:铰链四杆机构、含一个移动副的四杆机构和含两个 移动副的四杆机构。不论是含一个或是两个移动副,它们都可以看作是由转动 副演化而来的。含一个移动副的四杆机构大致有四种类型:曲柄滑块机构、转 动导杆机构、曲柄摇块机构和移动导杆机构。而含两个移动副的四杆机构一般 可以分为七种类型:曲柄移动导杆机构、双转块机构、正切机构、滑块摇杆机 构、摇杆导杆机构和摇块滑块机构。 第二章平面四杆机构计算机辅助分析研究 从机构学的角度来说,对平面连杆机构的研究,主要有运动分析及运动综 合两方面的内容。近年来,随着现代数学知识、物理知识的发展以及一些新兴 学科的出现,许多专家在原有的机构分析方法上,综合这些新的知识,将一些 新的思想融入机构的研究中,如基于小波变换的分析方法、应用分形论的研究 方法、基于形状谱的神经网络轨迹设计法等,而无论是传统还是新提出的研究 方法,一个共同的特点就是完成一次计算的工作量较大,因此,计算机辅助分 析就成了机构分析与综合的主要研究方向。 2.1平面连杆机构的运动分析 2.1.1方法选择 平面连杆机构的运动分析方法大体上可分成几何法和代数法两大类,几何 法有直观,设计过程和结果清晰等特点,但是它的设计精度较低误差较大,且 对作图的要求较高;代数法主要是通过对机构本身的分析来建立数学模型,它 的设计精度较高,设计思路比较灵活、清晰,结构准确,便于演绎、推理和分 析,可适用于复杂机构的分析,缺点是推导过程冗长,几何直观性欠强,高维 非线性方程组求解困难,解的检验较费事,而随着计算机的发展,代数法的求 解已不再困难。 运用计算机的精确求解功能,比较几何法和代数法的优缺点,在平面连杆 机构的运动分析建模方法上选择代数法。从应用角度看,代数法主要有复数矢 量法、杆组法、约束法等,在机构分析中,最基础的工作是位移分析,在此基 础上,才能进行速度、加速度、误差和静力、动力分析,而且优化综合等也都 以位移分析为基础。用代数法进行机构位移分析时,第一工作是建立机构位置 方程组,而建立方程组的方法有多种,下面简要介绍其中两种。 2.1_2方程组的建立方法 一、复数矢量法 1.基本思想 在平面机构中,各构件均在互相平行的平面内作平面运动,构件间以平面 运动副相连接。因此,从几何学的观点看,每个平面机构都由若干个平面封闭 多边形组成。若令封闭多边形的每条边代表一个矢量,则该封闭多边形就成为 一个封闭矢量多边形,于是可写出一个平面矢量方程。复数矢量法是将机构看 成一个封闭的矢量多边形,并用复数形式表示该机构的封闭矢量方程,再将矢 量方程分别对所建立的直角坐标取投影。 复数矢量法应保证建立足够的方程,用以确定平面机构中从动件的位置。定理:在平面连杆机构中,决定从动件位置的未知运动量个数等于用封闭 向量多边形法或复数法缩减里的独立位置方程的个数。 对定理还应指出: (1)定理证明过程没有涉及到虚约束和局部自由度的问题。原因是在计 算机构自由度时,已经考虑了这两个问题。事实上,局部自由度所对应的从动 件运动是不确定的,它对机构的整个运动不发生任何影响,不需要求解。至于 为了引进虚约束而增加的从动件的运动,可根据虚约束成立条件求解。 (2)根据高副低代的理论知,定理对平面高副机构也成立。所以,封闭 向量多边形法对所有平面机构均是可解的(限于3阶以下的运动)。 (3)空间机构一般不能完全依靠封闭向量多边形法求解。原因是一个空 间封闭向量多边形只含3个独立的约束方程,而一个具有确定运动的单闭环空 间机构中所包含的未知运动量个数最多可以达到6个。 二、对偶变换矩阵法 对偶变换矩阵法利用33对偶变换进行旋量的坐标变换,根据同一性条件 建立对偶位置方程,并在求解过程中引进旋量的直角坐标进行旋量的乘法运 算,这样,使某些空间机构的位移分析过程具有建立方程直接、思路明晰、求 解简单的特点,且角性变量和线性变量的方程可同时建立。 2.2计算机辅助分析的公式推导 在平面四杆机构计算机辅助分析中,如前所述,主要用解析法来求四杆机 构的各结点的坐标,在分析时要特别注意其运动的极限位置,对其进行分开讨 论,下面选择常用的铰链四杆机构、曲柄滑快机构、导杆机构进行分析。 2.2.1铰链四杆机构 在图2.1所示的铰链四杆机构中, 已知杆长分别为‘、,z,f’、,4, 原动件1的转角为%及等角速度 为一,要求确定构件2、3的角位 移、角速度和角加速度。 1.位移分析 将铰链四杆机构ABCD看作一 封闭矢量多边形,如图所示。若 分别表示各构件的矢量,该机构的封闭矢量方程 图2.1铰链四杆机构以复数形式表示为 规定角驴应以z轴的正向逆时针方向矢量。 按欧拉公式展开得: ‘(cos妒l+fsin妒1)+z2(cosP2+fsin妒2)=,4+,3(cos仍+fsin伊3) 该方程式的实部和虚部应分别相等,即 ‘cos妒l+z2cos妒2=,4+‘cos仍1 消去妒2后得Acos吼+Bsin伊3+C=0 式中系数 又因 以=z4一z1cos妒l B=01sin纯 式(2—3)中p,有两个值,它说明在满足相同的杆长条件下,该机构有两种装配方案,根号前为“+”号的热值适用于图示机构ABcD位置的装配,根号前为”” 号的仍’值适用于图示机构ABc’D位置的装配,究竟应取哪一个仍,要根据从动件 3的初始位置和运动连续性条件来确定。 构件2的角位移伊z可求得 B+£,sin积 2.速度分析将式(2—1)对时间求导数得 为了消去国2,将上式两边分别乘以81啦得:,l国1把‘(吼一92)+,2国2fP’(92—92)=,3甜3把咖’3呻2 ‘,3sill(仍一妒2)同理,为了消去国:,将式(2—7)两边分别乘以91妇得 1f2sm(伊2一仍)角速度为正表示逆时针方向;为负表示顺时针方向。 3.加速度分析 将式(2—7)对时间求导得: 为了消去口:,将上式两边乘以F“9z得:一,1国128。(9I一92)+f2口2f一,222=,3口3据‘(玛一9”一,332e’(鸭一92) 塑土生坚霉墼掣丛生蓝竺删(2_10) 同理,为了消去吒,将式(2—9)两边分别乘以81“,则一,l珊12P7细l一93’+,2cr2招’‘吼一曲)一,2228。(他一他)=,3吒f—f3国32 同样可取实部得: 角加速度的正、负号可表明角速度的变化趋势,角加速度与角速度同号表示加速,反之则为减速。 2.2.2曲柄滑块机构 如图2.2所示的曲柄滑块机构中,已知曲柄l的长度‘、转角吼、等角速 度彩。及连杆2的长度z:,要求确定连杆的转角p:、角速度国:和角加速度口:, 以及滑块的位置%、速度%和加速度口。。 图2.2曲柄滑块机构 1.位移分析 如图2.2所示,该机构的封闭矢量方程式为: 和’“+,2扩=xc展开后分别取虚部和实部得 舻arcsin({等)。c=f1cos伊l+,2cos妒2 2.速度分析 将式(2—14)对时间求导得 ,lq抬‘91+Z22招”2=% 两边乘以P“9:后,展开并取实部得 f,cos仉(2—12) (2一13) (2一14) (2—15) (2一16) (2一17) 3.加速度分析 将式(2一17)对时间求导得 一,l12e。91+,2口2把。n一,222P’92=口c (2—18) 10 两边乘以P““,展开后取实部得 一,1印12cos(矿1一妒2)一,2国22=口ccos妒2 cos矿2在某种情况下,例如计算往复式原动机惯性力的平衡时,只需知道滑块的近似 加速度,这时可按如下方法求解。 式中z=为曲柄与连杆的长度比,由Z2 cos妒::扛而=扛了:而 利用牛顿二项式定理展开成级数得 c。s仍=1一三岔sill2";舶n4”… 这个级数收敛得很快,当五当时,取其前两项便可准确到小数点后三位数字。 因此将 cos"-一吉舶咖,斗等(生字) 代入式(2一14),得距离托的近似值为 将上式对时间逐次求导,则得滑块的速度和加速度的近似值为‘七刽一,l脚1(sin伊1+要sin2妒I) (2—22) dc一112(cos伊1+五cos2妒{) (2—23) 2.2.3导杆机构 如图2.3所示的导杆机构中,已知曲柄的长度‘、转角吼、等角速度q及 中心距z。,要求确定导杆的转角吼、角速度吐和角加速度鸭,以及滑块在导 杆上的位置s、滑动速度%:。,及加速度口。,。 1.位移分析 如图2—3所示,该机构的封闭矢量方程式为 (2—24)展开后分别取实部和虚部: cos竹=scosp3,4f+,lsin妒l=JsinP3两式相除得 flcos伊1 求得角仍后可得 cos仍图2.3导杆机构 (2—25) (2—26) 2.速度分析 将式(2—24)对时间求导得 和l把79 DB2茸3=一,l甜Isill(奶一妒3)(2—28) s3=,l曲lcos(妒l—P3) 3.加速度分析将式(2—28)对时间求导得 一‘印12P。91=(日83占2一s32弦‘铂+O口3+2u82矗33)把坤 两边乘以91吒后展开,并取实部和虚部得 一‘12cos(吼一仍)=口口2口3一J32 一,l12sin(伊I一伊3)=s口3+2%2口33 12(2—29) (2—30) (2—31) (2—32) 第三章平面四杆机构计算机辅助综合研究 平面连杆机构设计通常包括选型和运动尺寸设计两个方面,前者是确定连 杆机构的结构组成,包括构件数目以及运动副的类型和数目;后者是确定机构 运动简图的参数,包括转动副中心之间的距离、移动副位置尺寸以及描绘连杆 曲线的点的位置尺寸等等。平面连秆机构的运动尺寸设计是本章主要研究内 容,它一般可归为以下三类基本问题: (1)刚体导引问题,即要求连杆机构能引导某构件按规定顺序精确或近 似地经过给定的若干位置,如铸工翻箱机构等。 (2)再现函数问题(实现已知运动规律),即要求主、从动件满足已知的 若干组对应位置关系,包括满足一定的急回特性要求,或者在主动件运动规律 一定时,从动件能精确或近似地按给定的规律运动,如汽车前轮转向机构、颚 式破碎机、惯性筛等。 (3)再现轨迹问题(实现己知运动轨迹),即要求连杆机构中作平面运动 的构件上某一点精确或近似地沿着给定的轨迹运动,如缝纫机挑线机构、起重 机、压包机等。 本章研究以上三类机构综合问题。 3.1平面连杆机构的运动综合 3.1.1概念 机构的运动综合是指按给定的机构特性来进行机构简图的设计,确定机构 的尺寸。机构的运动综合包括位置综合,函数综合,轨迹综合。 一、位置综合 给定位置的最大可能数:对四杆机构来说,给定的运动平面位置即指连杆 平面的位置。只要给定连杆平面一点的位置及其方位角,则该平面的位置即完 全确定。 如果给定运动平面二个位置,则恰可得一个标准方程(含二实数方程)。 该方程中含五个未知数,任选其中三个,其余二个可由方程解出。三个任选的 未知量中每个都有无穷多个可能的选择,因而二位置综合问题解的可能数为三 阶无穷大。 如果给定运动平面三个位置,那么标准形方程将比二位置时增加一个,同 时未知实数也增加一个。因此,可以任选两个未知实数,解的可能数为二阶无 穷大,依此类推,四位置综合,就只有一个任选实量,有一个可能解;五位置 综合,没有任何未知量可以任选,未知实量数恰好等于实数方程数,只有有限 二、函数综合四杆机构的精确点函数综合,是要综合一个四杆机构,使其二连架杆在若 干组对应位置上的角位移精确地再现给定的函数关系。仿前位置综合中分析给 定位置的最大可能数的方法,分析函数综合中给定连架杆对应位置的最大可能 数。函数综合中给定对应位置的最大可能数为五。函数综合只需连架杆的转角 再现给定的函数关系,与构件的配置方位无关,形状相似而大小、方位不同的 两个铰链四杆机构,其连架杆的转角关系完全相同。所以我们可以任意选定一 个杆长,而不会影响综合的结果。 于是,函数综合问题的解法,就和位置综合完全一致了。 三、轨迹综合 四杆机构的精确点轨迹综合,是要综合一个四杆机构,使其连杆上某一点 在运动中精确地通过给定轨迹上的若干点。 轨迹综合中,连杆上M点的位置己知,是唯一的已知量,其余为未知量。 仿前位置综合的分析方法,分析轨迹综合给定精确点位的最大可能数。给定轨 迹精确点位的最大可能数为九。当进行九个精确点的轨迹综合时,需要联立求 解九个超越方程式,其复杂和困难程度是可想而知。在设计中任选某些参数, 减少给定的精确点位数,来简化联立方程组的求解。 3.1.2方法选择 连杆机构的运动综合,除个别特殊的情况外,都属近似综合,即综合所得 机构的运动与所需运动存在着误差。近似综合的基本内容是函数综合和轨迹综 合,基本方法有数值逼近法和优化方法。 函数逼近法的基本思想是用一个与给定函数相差很小的函数来近似地代 替给定函数。设y=f(z)表示机构预期实现的给定函数,y=f(x,z)表示机构能 实现的函数,式中x=[x、,x。,…,x。]1,x。,x2,-一,x。为所需确定的机构参数。机 构的综合问题就是选择x,使函数y=f(X,z)在自变量z的给定变化区间内与函 数y=f(z)近似。函数y=f(x,z)称为逼近函数。常用的函数逼近方法有插值逼 近法、平方逼近法等。 机构综合的优化方法,是将机构综合问题作为一个非线性数学规划问题来 处理,应用数学规划方法,在满足一定的约束条件下,使某种性能指标达到最 优值,据此确定机构的结构参数。这是近二十年来得到迅速发展的一种机构近 似综合方法。 优化方法的长处,就在于它能够统筹兼顾各方面的设计要求,将各种要求 作为寻优过程中不可违背的约束条件,在这些约束条件的范围内,使机构的某 项运动学或动力学性能达到最优值。所谓最优,通常是指在考虑了种种设计要 求之后所获得的令人满意的最好结果,它包含着人为的意图和目的,并不单纯 是数学上的极值。因此,这是一种极有前途的机构综合方法。 3.1.3优化方法 一、概述 优化方法的数学模型可表述如下: min,0) JE月” 问题的含义是在机构综合需要确定的n个实变量(葺,o“.,,x。)所构成的n维欧氏空间胄”内,求一个点工’=(而。,x,‘,…,x。。),在满足不等式约束方程式 &(工,,x:,…x。)O和等约束方程见(墨,z:,…,x。)=O的条件下,使目标函数 这是优化问题的统一表述形式,以便使用统一的通用优化程序进行解算。在这个数学模型当中,涉及到设计变量、约束条件和目标函数三个基本要素, 下面结合平面连杆机构的运动综合分别加以介绍。 1.设计变量 机构优化综合中有待确定的结构参数,称为设计变量。如 铰链四杆机构函数综合中需要确定的五个参数,轨迹综合中需要确定的九个参 数,均可作为设计变量。如果这些参数中的某几个已预先选定,则称其为预定 参数,其余为未定的参数需在优化过程中进行优选,就是设计变量。 数学上,n个独立设计变量以为,鼍,...,矗表示,可记为具有n个分量的列 X1X2 这n个独立的变量组成一个n维欧氏空间或设计空间,用月”表示。每一组特定的设计变量值,决定该空间中的一点,x即代表由原点到该点的向量, 它对应一个特定的设计方案。 设计变量的多少,称为设计自由度。设计变量愈多,设计自由度就愈大, 设计的优选范围程度也愈高,但是优化目标函数的维数也愈高,要求的优化技 术愈复杂。所以,设计变量的数目应尽量减少,同时也要考虑到对设计方案好 坏的影响及实际的可能性。 2.约束条件 设计变量在优化过程中的取值范围所受到的限制,称为约 束条件。约束条件的存在,使机构综合的结果能统筹兼顾各种设计要求,但同 时又必然在设计空间中排除了许多设计方案,从而增加了优化求解过程的难 约束条件可用设计变量的不等式g。(x)O和等式南,(工)=O表达,分别称为不等式约束和等式约束。不等式约束限制设计变量的取值范围,将设计空间划 分为两个部分:一部分的设计方案满足约束条件矾(x)<O,另一部分的设计方 案不满足约束条件,即邑(x)>O,两者的分界面称为约束面邑(z)=O。m个不等式 约束在设计空间中构成m个约束面,围成两个区域:一个区域中的设计变量满足全 部不等式约束,称为可行区;另一个不满足,称为不可行区。等式约束要求设计变 量的数值满足一定的函数关系,例如铰链四杆机构各杆长必须满足封闭四边形的条 件。每个等式约束就是一个可解一个未知变量的方程式,所以加入一个等式约束, 实际上相当于减少了一个独立设计变量,相应地也减少了优化问题的维数(自由度)。 显然,等式约束不可任意增加。 3.目标函数 在设计空间的可行区内,每一点都对应一个可行的设计方 案。如何从这许多可行的设计方案中选取最优方案,需要一个所谓最优的评价 标准,这个标准被称为目标函数。目标函数是设计变量的函数,在优化设计中, 通常的优化目标是使其极小化,即F(x)=F(而,x,,…,x。)斗111in,若要求其极大 化,则可用一F(工1极小化处理。 下面以九位置轨迹生成问题为例介绍这种方法。 二、举例m1 1.九位置轨迹生成问题 再现轨迹设计就是要求刚体(连杆)上某点通过预定的若干个位置。对于 图3.1所示的铰链四杆机构中,以A为原点、机架AD为x’轴建立直角坐标系 彳z’。若连杆上的一点M在该坐标系中的位置坐标为x7、_y’,则有: x’=口cos妒+,cos 一=d+ccos+mcos(卢+J)y’=csin{f,+研sill(p+占) ‘J—bJ再由式(3—5)和(3—6)消去,则得在坐标系血7中表示的M点曲线砌sin万k’@’一d)+y“一砂7cotJJ式(3—7)是关于x’、y’的一个六次代数方程。 在用铰链四杆机构的连杆M再现给定轨迹时,给定轨迹通常在另一坐标系 0砂中表示。如图3.1所示,若设A在0砂中的位置坐标为h、儿,x轴正向 至x’轴正向沿逆时针方向的夹角为仇,M点在中的坐标为x、y,则有: 式中有九个待定尺寸参数,因此铰链四杆机构的连杆点最多能精确通过给定轨迹上所选的九个点。若已知给定轨迹上九个点在坐标系哪中的坐标值为 %,、‰(f-1,2,…,9),将其分别代入式(3一g),得九个非线性方程,采用数 值法解此方程组,便可求得此九个待定尺寸参数。但联立求解这九个超越方程 式,其复杂和困难程度是可想而知。 为解决这个问题,根据优化理论的基本思想,将它为一个非线性数学规划 问题来处理,应用数学规划方法,在满足一定的约束条件下进行求解,并据此 确定机构的结构参数。其中的关键问题是优化的数学模型建立问题。 2.数学模型的建立 (1)设计变量 参考图3—1,再现已知运动轨迹是指机构的连杆曲线尽可能地接近某一给 定曲线,即已知连杆上M点的几个坐标(x,,弘),求解各杆长。则设计变量为: x=b1,x2, 一,x9J1=b^,),口,6,c,d,,,朋,伊oJ1 (3—10) (2)目标函数 为将如式(3—9)的9组超越方程转化为优化问题,可作如下考虑:若有 一组参数使这9个方程的左式的平方和为零,则这9个方程必然全都等于零。 虽然我们很难精确地找到一组这样的参数,但可以使用优化方法使所得解尽量 逼近精确解。据此,可得目标函数为: (3一11)其中 (3)约束函数据图3.1,设定A点坐标非负,可得约束函数1,2; 各杆长为正及图3—1中参数,、研、‰等值非负,可得不等式约束函数3 根据构成四杆机构的条件(最长杆应小于其它三杆长度之和)可得不等式约束函数lO至13: 根据图3.1中的刖n犯(即连杆上的点M与连杆BC的关系),可得不等式 约束14,15及等式约束1。 92(工)=一yJO93(工)=一口<0 94(x)=一6<O 95(工)=—c<0 96(x)=一d<O gIo(x)=口一(d+6+c)<O91l(x)=6一(口+c+d)<O 912(x)=c一(口+6+d)<O 913(x)=d一(口+6+c)<O 914(x)=万一180O gl5(工)=一J茎0 2,mcos(占)+62一棚2一,2=0 (3—12) (4)优化方法的选取 由于本问题是既含不等式约束又含等式约束的多变量非线性规划问题,选 取混合惩罚函数法,具体惩罚因子的计算以及收敛条件的设定等,可参见文献 [50】 图3.2程序框图 3.2计算机辅助综合的公式推导 3.2.1刚体导引机构 在工程上往往利用连杆机构中的连杆作为执行构件来完成某种动作,这就 涉及根据连杆的若干个已知位置设计连杆机构的课题。这类设计课题通常称为 刚体导引。 对于图3.3所示铰链四杆机构,在机架上建立固定坐标系0坤,已知连杆 平面上两点M、N在该坐标系中的位置 坐标序列 杆上建立动坐标系M。,其中工’轴正向为M的指向。设B、c两点在动坐 标系中的位置坐标为(z:,以)、(《,畦), 在固定坐标系中与肘.、j相对应的位置 坐标为(xm,J,m)、(xc。,Jb),贝0 点分别在固定坐标系和动坐标系中的坐标变换关系为: ym=y胁+%sln仍+儿cos纪J19 kr 2‰+乇。?8竹一%8m仍} (3—14) yo=y埘+xcsln吼+)0cos纯j 其中霞为x轴正向至x’轴正向沿逆时针方向的夹角,由下式给出 (3一15)XMl—XN‘ 若固定铰链中心A、D在固定坐标系中的位置坐标记为(z。,儿)、(z。,%)。则 根据机构运动过程中两连架杆长度不变的条件可得 O=2,3,…,n)(3一16) (zD—xD)2+()7。一yD)2=(】.cl—xD)2+(),c1一yD)2 (f=2,3,-.-,刀) (3—17) 将式(3—13)代入(3—16)并整理得 Ex:一fy:+Gf=o (f=2,3,…,”) (3一18) 2(‰。。8仍一?,。。8冀’+(y“j8i11'一yw8in妒 (3—19)一x月cos伊。一cos妒lJ—y_LsmPz—sln仍J (3_20)一zd【sln妒,一sln竹J+yJ(cos妒{一cospl) G,=(x2M,+y2埔)/2一(x2M】+y2M1)/2一x』(x埘一xMl)一y(y胁一yMt)(3—21) 当A、D位置未给定时,式(3一18)含有四个未知量x:、y:和x。、y。, 共有(n—1)个方程,其有解的条件为栉s5,即四杆机构最多能精确实现连杆 五个给定位置。当n<5时,可预先选定某些机构参数,以求得唯一解。同样将 式(3—14)代入式(3—1 程。求出x:、以、x。、y。和《、%、工。、y。后,利用上述关系即可求得连杆、机架及两连架杆的长度。 若A、D位置预先给定,则四杆机构最多可精确实现连杆三个预期位置。 3.2.2函数生成机构 一、急回机构的设计公式推导 在某些执行机构中,往往要求空回行程比工作行程快一些,即前者占用时 间比后者少,这样可提高其工作效率。应用连杆机构来实现这种运动要求,具 有传动平稳,制造简便等优点。 若给定曲柄摇杆机构中摇杆cD的长度c、摆角以及行程速度变化系数K, (3—22),2focl2———_。 【3一ZZ) 固定铰链中心A可在圆玎的两段圆弧 上任选,即有无穷多个解。若要定解必须 增加附加条件,使A点的位置就受到限制, 不同附加条件对应的各构件长度的求解方 法略有差异。 如图3.4所示,若以=州c:c】表示A 点在圆玎上的位置,并引入符号占,即当 图3。4急回机构参考图g=fDD=csinp(移一|;f,/2)】/sin9’ zAcl=6一口=二导导sin=2r siIl=2csinsin(/2)/sin占 Sm zm =2csin(+p)sin(缈/2)/sin臼d=csiI《y,2)[sin(p+口)一sin芦】/sin毋 sin(妒/2)【sin(+口)+sin卢】/sin目d=,2+92+2,苫占cos(2+口) 附加条件为给定AD的长度d,则由式(4一16)可求得角声,将其代入式(3—26) 和式(3—27)便可求得曲柄AB和连杆Bc的长度a和b。 又若附加条件为给定最小传动角y。,则对于I型曲柄摇杆机构,有 62+c2一(d一口)2 。08‰2——荔一 (3—29) 将式(3—26)至式(3—28)代入上式,得未知量仅为的方程cosym=,()。 采用数值方法求解此式,便可确定最小传动角为给定值时的角及A点的位置,将 代入式(3—26)至式(3—28)即可求得a、b、d。 二、函数生成机构设计公式推导 利用连杆机构可近似实现从动杆相对于主动杆运动的某种函数关系,这类设计 课题称为再现函数。如果生产工艺上要求的函数关系相当复杂,那么宜用凸轮机构 来实现。如这种函数并不复杂,或者仅需保持其上若干个插值结点而对其间的规律 无严格要求则可考虑采用连杆机构,以充分发挥其加工简便和运转平稳等优点。 在图3.5所示的铰链四杆机构中,已知两连架杆AB和DC沿逆时 针方向的角位移序列为仍.和 。(f_2,3,…,”),要求确定各构件 如图3.5所示,以A为原点、机架AD为x轴建立直角坐标系 4砂,则两连架杆AB和CD相对于 x轴的位置角之间有如下关系: 图3.5函数生成机构参考图 口c!)s妒+??。s?=d_cc。8} (3—30) 口sin妒+6s访J=csilly 因两连架杆角位移的对应关系,只与构件的相对长度有关,为此取AB的长度口为基准,并设 将其代入式(3—30)得mcos占=p+厅cos妒一cospl 坍sinJ=行sin一sm妒 将上式等号两边平方后相加并整理得cos妒=异cos+Ecos(y一妒)+与 (3—32)(3—33) 若两连架杆AB和Dc第一位置线相对于x轴的夹角分别记为仍和%,则两 连架杆第f位置相对于x轴的夹角分别为(仍,+吼)和(,+。)。将式(3—32)用 于两连架杆的第一和第f位置,有 式(3—34)中含有R、暑、只、仍和五个未知量,共有n个方程,其有解的条件为玎5,即铰链四杆机构最多能精确实现连架杆四组对应角位移,也即两连架 杆五组对应角位置。 若仍和也预先给定,则铰链四杆机构最多能精确实现两连架杆两组对应角位 移,此时式(3—34)可写为 cos仍=Rcos+鼻cos帆一纯)+昱 (3—35)cos劬13+仍)=最cos奶3+%)+鼻co水3+)一(卿3+仍)J+Bj 由以上三个线形方程组可解出只、只和只。 由于受到机构待定尺寸参数个数的限制,四杆机构最多只能精确实现两连 架杆五组对应位置。如果给定的对应位置超过五组,甚至希望机构在一定运动 范围内,两连架杆对应位置参数能满足给定的连续函数关系,那么四杆机构只 能近似实现给定运动规律。此类问题可采用函数最优逼近等方法进行近似设 计,使两连架杆再现的函数与给定函数之误差最小。 3.2.3轨迹生成机构 再现轨迹设计课题就是要求刚 体(连杆)上某点通过预定的若干 个位置。作一般平面运动的刚体可 分解成两个运动:随同基点(参考 点)的平动——牵连运动;绕基点 的转动——相对运动。选给定轨迹 上的点为基点,则该点的若干个位 置已确定,但与此相应的刚体绕基 点转动的角位移却是可供选择的参 图3.6轨迹生成机构参考图 数。这是再现轨迹问题与刚体导引问题的主要区别。 对于图3.6所示的铰链四杆机构,其公式推导见本章3.1.3优化方法中举例 九位置轨迹生成问题。 第四章平面四杆机构运动仿真 通过以上分析,建立各种常用杆机构运动分析方程,再采用一定的方法对所分 析的机构实现运动仿真,从而可以更准确的判断分析的正确性,以达到仿真目的。 运动仿真就是以一定的速度播放一系列图片。只要速度取的合适,就能得到运动比 较流畅的动画。 4.1公式推导 4.1.1铰链四杆机构 一、曲柄摇杆机构 如图4.1所示,Ac杆是曲柄、AB杆是机架。Ac杆和x轴正方向所夹的角 为n,BD杆和x轴正方向所夹的角为B。Ac杆围绕着A点逆时针方向旋转,当 墨1800时,先给定A点的横坐标和其纵坐标,则C点的横坐标为:

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